Mathématique et théories

Nous pensons éveillés, nous pensons pendant notre sommeil, dans nos rêves Nous avons conscience, dans ces deux états, d'exister. L'éveil et le sommeil nous plongent cependant dans deux mondes différents. Celui que nous retrouvons, dans l'état de veille, est pour nous ce que nous considérons être la Réalité, bien que ce monde soit à la fois stable et changeant. Les éléments qui le constituent, la matière inerte comme la matière vivante, notre corps même évoluent dans le temps. Nous nous efforçons d'en rechercher les invariants dans des lois qui fixent leur permanence. C'est une quête vitale à notre espèce.

Cependant, le concept d’existence d’éléments de l'Univers indépendants de notre présence disparaît lorsque nous descendons au niveau des atomes. Le comportement des particules semble lié, à ce niveau, à l'acte de l'observateur.

 L'acte vital est l'acte de la participation. Le "participateur" est le nouveau concept irrécusable introduit par la mécanique quantique. Il évacue le rôle de «l’observateur" propre à la théorie classique, celui de l'homme qui, protégé par un épais mur de verre, observe ce qui se produit sans y prendre part. Cela ne peut se faire, selon les termes de la mécanique quantique... Se peut-il que l'univers, en quelque sorte étrange, soit "amené à être" par la participation de ceux qui en participent ?  (John Wheeler, physicien de Princeton).

La réalité existe-t-elle en dehors de notre présence ?

C'est, en résumé, la question qui reste posée après que, durant deux siècles, les recherches ont été menées avec des instruments permettant de détecter, d'accélérer, de dévier les particules. Ces instruments, relativement simples au début des recherches, sont devenus de plus en plus complexes, sophistiqués et onéreux.

Les outils des physiciens.

 Les tubes cathodiques ont permis de mettre en évidence la première manifestation tangible des électrons. S'ils ont l'énergie nécessaire, ceux-ci provoquent, en frappant une cible de matière, l'émission de Rayons X utilisés en médecine, dans l'industrie et dans la recherche.

 L'oscilloscope, une application de ces tubes, est l'ancêtre des écrans de télévision et des ordinateurs.

 Dans la chambre de Wilson, le passage d'une particule électriquement chargée, après détente de vapeur d'eau saturée, provoque la condensation de gouttelettes de brouillard, ce qui permet de visualiser la trace laissée par la particule et d'en déduire ses propriétés.

 Le compteur de Geiger est utilisé comme détecteur et compteur de particules.

 Dans le microscope électronique, les rayons lumineux sont remplacés par un faisceau d'électrons, ce qui permet de grossir jusqu'à 500 000 fois. Avec le microscope électronique à effet tunnel, il est possible d'explorer une surface à l'échelle atomique et de photographier les nuages électroniques.

 Pour augmenter la finesse de l'exploration de la matière, il faut augmenter l'énergie des particules. Pour arriver à ce résultat, on les soumet à un champ électrique créé par de très hautes tensions. Elles sont très délicates à manipuler mais les progrès techniques ont permis de surmonter les difficultés et de créer des accélérateurs de plus en plus puissants et de taille de plus en plus imposante. Au LEP (Large Electron Positron Ring) du CERN de Genève, les faisceaux d'électrons et de positrons (les électrons positifs) créés dans un synchrotron sont dirigés, pour acquérir leur très haute énergie, dans un anneau souterrain de 27 km de circonférence. Sous le choc entre des particules qui tournent en sens opposé d'autres particules peuvent être créées par matérialisation d'une partie de l'énergie. L'observation de leurs traces dans la chambre de Wilson permet de connaître leurs propriétés. On parvient, par ce procédé, à comprendre la formation des premiers éléments de la matière au début  de l'Univers.

 De toutes les observations faites, de toutes les expériences réalisées, aucun résultat n'aurait pu cependant être acquis sans l'emploi d'un outil universel, créé par le cerveau de l'homme : les mathématiques.

Les bases de l'édifice mathématique.

Avant les nombres

 Avant qu'ils aient acquis la notion de nombre et sachent compter, les premiers hommes utilisaient le principe de la correspondance pour mémoriser une collection d'objets comme des sacs de blé ou les bêtes de leurs troupeaux. Pour chaque sac ou chaque bête, ils pratiquaient une entaille sur un os ou sur un morceau de bois. Ainsi l'ensemble des encoches était identique à l'ensemble des sacs ou des bêtes. Au lieu de pratiquer des entailles, certains se référaient aux doigts des mains, aux différentes parties de leur corps. D'autres utilisaient l'entassement ou l'alignement de bâtonnets, d'osselets, de coquillages ou de cailloux. Vers 3200 av.J.C. apparurent les chiffres sumériens. La découverte de la notion du nombre va rapidement se développer et trouver de nombreuses applications pratiques. 

 Au VIème siècle av. J.C., Thalès rapporte d'Egypte et de Babylone les premiers éléments de la géométrie. A la même époque, Pythagore crée une arithmétique sur une base décimale en utilisant pour chiffres les 10 premières lettres de l'alphabet. Les pythagoriciens verront dans les nombres l'essence de toutes choses.

 Au IIIème siècle av. J.C. Archimède classe les nombres. Il les structure. Compter devient une opération banale. Dans son traité l'Arénaire, ce grand esprit universel, calculant le nombre de grains de sable nécessaire pour remplir l'Univers, donne un nombre équivalent à 64x1049 (64 suivi de 49 zéros). La tâche principale qu'Archimède se proposait était de montrer que ce qui est grand, quelle que soit la grandeur, n'est pas infini. Sa démonstration a exigé un énorme effort d'imagination et d'intuition, d'autant plus que pour effectuer son calcul, Archimède ne connaissait pas l'emploi du zéro.

L'invention de l'Indien Aryabhata

C'est en 610 que l'Indien Aryabhata, dans sa numération, utilise 9 chiffres et un point, et vers 900 que les Arabes empruntent ce système et remplacent le point par un petit cercle qui deviendra le zéro. La grande aventure des mathématiques a commencé, mais l'essence du nombre demeure mystérieuse (Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres).

Le début des mathématiques

 Dans l'Organon, nom donné à l'ensemble de ses traités, le philosophe grec Aristote ramène le raisonnement déductif à quatorze règles et quelques principes permettant de dériver correctement des conclusions à partir de prémisses. Parmi les principes figuraient la loi d'identité - chaque chose est identique à elle-même, la loi de contradiction - aucune chose ne peut à la fois être et ne pas être, et la loi du tiers exclu - quelque chose est soit vrai, soit faux, il n'y a pas de troisième possibilité. En appliquant ces règles de raisonnement, Euclide, dans son œuvre les Eléments, fait dériver de propositions premières des centaines de théorèmes. La croyance en l'infaillibilité des règles d'Aristote conduisit à considérer ces théorèmes comme des modèles de certitude,

 Euclide énonçait d'abord des vérités reconnues évidentes au bon sens, les axiomes, comme "deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles".  Il demandait "de bien vouloir accepter que certaines constructions sont possibles". Ce sont les postulats comme "d'un point situé hors d'une droite on ne peut faire passer qu'une parallèle à cette droite". La géométrie euclidienne sera considérée indéniable jusqu'à ce que, au début du XIXème siècle, Lobatchevski discute la théorie des parallèles et développe une nouvelle version d'une géométrie non euclidienne.

 Avec des instruments matériels, la règle et le compas, Euclide construit des instruments logiques : droite, angle, cercle, triangle, quadrilatère, polygone.  Il ne laisse cependant aucun doute sur le fait que ces objets ne sont pas accessibles à nos sens. Les deux premières définitions disent que "le point est sans étendue»  et que "la ligne est sans épaisseur". Les deux demandes constamment utilisées "on peut joindre deux points quelconques par un segment de droite" et "on peut prolonger indéfiniment un segment de droite dans les deux sens " sont des propriétés évidemment absurdes si l'on envisage de les appliquer dans le monde matériel.

 C'est chez Euclide que l'on voit pour la première fois des «objets mathématiques" dont les propriétés sont développées suivant la méthode déductive, se substituer à la réalité. Toute la recherche scientifique prendra appui sur cette conception de mathématiques autonomes et cohérentes mais édifiées sur des entités. Galilée sera le premier à les appliquer dans ses expériences du pendule et celles du mouvement sur le plan incliné. Les mathématiques sont pour lui "le langage de la nature". Elles deviendront l'outil indispensable, non seulement aux physiciens, mais à toutes les branches du savoir.

La droite numérique

 La notion de nombre elle-même s’est enrichie. Pour avoir une idée de son extension, traçons une droite et marquons à distances régulières des points numérotés un, deux, trois.... Prolongeons cette droite jusqu'à l'infini. C'est l'image des nombres positifs. A gauche sur cette ligne, dans l'autre sens, les algébristes placent les nombres négatifs et sur ces nombres effectuent toute les opérations comme avec les nombres positifs. En 1930, Paul Adrien Emile Dirac appliquera le concept de nombres négatifs à la physique nucléaire et parviendra à celui d'une matière négative ou antimatière. L'expérience en confirmera l'existence.

 Sur la droite numérique, définie précédemment, les points laissent entre eux des espaces vides. Avec les nombres fractionnaires, on peut étiqueter tous les points de ces espaces jusqu'aux espaces infiniment petits (1/2, 1/3, 1/4, 1/5 ...). On obtient la droite réelle.

 Le nombre pie utilisé pour calculer longueur et surface du cercle est composé d'une suite infinie de chiffres décimaux sans que jamais ces chiffres se retrouvent dans le même ordre. C'est un nombre irrationnel. Il en existe une infinité.

 Ces ensembles de nombres comportent un nombre infini d’objets. Cantor (1845-1918) a montré comment on pouvait calculer avec les ensembles infinis. La théorie des ensembles qui permet de comprendre les degrés de l’infini est pour les mathématiciens «  une de disciplines les plus fécondes et les plus puissantes des mathématiques ».

L'Univers : une Grande Machine

 Jusqu'au XVIème siècle, la racine carrée du nombre négatif -1 était inconcevable. Les mathématiciens italiens Carcano et Bombelli introduisent avec le symbole i (racine carrée de -1), la notion de nombres imaginaires. Ils trouveront particulièrement leur essor au XIXème siècle dans le domaine de l'électricité.

 Avec Descartes (1596-1750), le point n'est plus uniquement un objet spatial de dimension nulle. Il peut être considéré comme un ensemble de deux nombres rapportés à deux axes. Le nombre rejoint alors l'espace. Cette application de l'algèbre à la géométrie est à la base de la notion de fonction. Elle devient le fondement de la géométrie analytique et du calcul infinitésimal qui ont fourni leurs premières applications aux lois de la mécanique et aux calculs concernant les mouvements des planètes.

 Avec les travaux de Galilée et ceux de Descartes, l'Univers semblait une Grande Machine dont la Raison pourrait comprendre et expliquer le fonctionnement. Si l'on accepte ce déterminisme mécanique, tout a été prédéterminé depuis l'origine des temps. Tout ce qui doit se produire était écrit et pourra être décrit par des lois mathématiques et physiques. Ce ne sera, en appliquant les données de notre savoir, qu'une question de temps, le champ de nos connaissances s'élargissant avec lui. Et le marquis Pierre Simon de Laplace, écrivait dans un élan d'enthousiasme :

 Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée, et la situation respective des êtres qui la composent, si, d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait inconnu pour elle et l'avenir comme le passé serait présent à ses yeux.

Un foisonnement de nouveaux concepts

 En 1785 les mathématiques ont déjà tant évolué que Lagrange estime les progrès terminée dans ce domaine.

Tout semblait avoir été découvert. Ce bel optimisme va devoir s'assombrir. Une véritable révolution s'amorce en 1796 avec Gauss qui, en 15 ans, va renouveler toutes les connaissances antérieures.

 Sa nouvelle conception de la nature abstraite des mathématiques lui permet d'étendre le champ de la théorie du nombre. Il est à l'origine des travaux essentiels sur le calcul des probabilités lorsqu'il énonce en particulier la loi de répartition des erreurs qui se traduit graphiquement par la courbe en cloche appelée courbe de Gauss, élément fondamental de la statistique.

 Gauss est convaincu que l'axiome d'Euclide sur les parallèles est indémontrable et qu'il pourrait y avoir une autre géométrie.  .Son intuition est confirmée aux environs de 1830 par un Russe et un Hongrois, Lobatchevsky et Bolyai, qui bâtissent une géométrie aussi logique que celle d'Euclide mais dans laquelle il est admis que, par un point, on peut mener une infinité de parallèles à une droite. Puis Riemann créera une géométrie dans laquelle, par un point, on ne peut mener aucune parallèle à une droite. Toutes ces géométries ont la même valeur. Il n'est pas d'hypothèse privilégiée. L'une vaut l'autre. Toutes sont des constructions logiques à partir d'hypothèses choisies en toute liberté.

 Au XIXème siècle, le foisonnement des idées nouvelles s'oriente dans deux directions.

D'une part, il y a la découverte de nouveaux concepts qui conduiront à de nouvelles théories comme la théorie des groupes, la topologie, les espace fonctionnels... D'autre part, il y a l'approfondissement des notions anciennes comme la synthèse, par George Boole, des règles de l'algèbre et de celles de la logique qui a permis de faire un nouveau bond en avant.

 Au XXème siècle, les branches vers lesquels ont progressé les mathématiques sont devenues de plus en plus nombreuses et abstraites à tel point qu'un mathématicien ne peut avoir une connaissance complète de toutes les théories mathématiques, comme cela était possible aux siècles précédents. Il doit se spécialiser. Il n'y a qu'un très petit nombre d'esprits capables de dominer plusieurs domaines en apparence fort éloignés et d'apercevoir qu'il existe entre eux un pouvoir mystérieux. Des ponts s'établissent entre diverses branches, comme la géométrie analytique a marqué la fusion entre l'algèbre et la géométrie. Malgré ces difficultés croissantes, si au XIXème siècle on pouvait compter une trentaine de mathématiciens, actuellement on peut escompter qu'il en surgit dans le monde entier un ou deux par an. Nous sommes à une époque de foisonnement en recherche pure, ce qui permet de résoudre entre autres des problèmes provenant de la physique nucléaire. En collaboration, physiciens et mathématiciens ont découvert qu'on pouvait y parvenir "à condition de créer de nouveaux objets et de nouvelles méthodes dont le caractère abstrait était indispensable à leur succès". (Dieudonné).

 L'implication du langage mathématique dans l'étude de la matière démontre que l'abstrait est le composant de la réalité. On ne peut aborder le monde subatomique par nos sens. Toute description de l'atome par une image, hors du langage mathématique, ne peut être que fausse. Les mathématiques sont l'outil nécessaire pour rapporter des corrélations observées dans les expériences sur les particules fondamentales. Etonnante imagination humaine qui donne la clé indispensable pour comprendre l'organisation de la matière et trouve dans cette recherche une affirmation à ses intuitions.

Théories et Vérité

 Les sciences de la nature sont organisées en théories. Si l'on accorde à ce mot le sens d'hypothèse spéculative en opposition à la pratique fondée sur l'expérience, édifier des "théories", est-ce connaître l'exacte Vérité ? La théorie de la flottabilité d'Archimède n'a jamais eu besoin d'être modifiée ou améliorée. La théorie de la gravitation de Newton s'est toujours trouvée confirmée. Elles restent cependant toujours des "théories". L'histoire fantastique de l'évolution de l'Univers que nous conte aujourd'hui la science, les principes de la physique, ne sont pas le résultat de l'imagination incontrôlée de quelques chercheurs. Certes, cette faculté leur est nécessaire. La nature elle-même les oblige à en faire preuve alors même que les résultats les déconcertent parfois. Einstein décrivait ainsi l'avancée dans les recherches :

 Créer une nouvelle théorie, ce n'est pas détruire une vieille grange et édifier à la place un gratte-ciel. Cela ressemble plutôt à l'ascension d'une montagne, qui permet de découvrir de nouveaux et plus vastes horizons, et aussi des cheminements inattendus entre notre point de départ et son riche environnement. Mais notre point de départ est toujours là, et peut être observé, bien qu'il paraisse rapetissé et qu'il ne soit plus qu'un détail du vaste paysage offert à notre vue grâce à la victoire remportée sur les obstacles qui nous barraient la route aventureuse des cimes. (Albert Einstein et Léopold Infeld - L'évolution des idées en physique )

 Depuis que Galilée a placé l'expérience à la base de la recherche, des théories nouvelles ont été énoncées sans qu'elles annulent les précédentes. La théorie de la Relativité ne contredit pas la théorie de la gravitation. Comme des poupées gigognes, elles s'emboîtent les unes dans les autres. Le but ultime de la Science est de découvrir la Théorie Universelle qui les inclurait toutes et permettrait d'avoir la Connaissance de l'Univers dans toute son évolution.

 Une théorie nouvelle n'est pas acceptée immédiatement par tous les scientifiques. Elle devra être vérifiée très souvent par des expériences.  Quand le résultat d'une de celles-ci ou d'une observation la contredit, la théorie est rejetée, au moins provisoirement. Acceptée par la majorité, elle peut encore soulever réticence ou opposition.

 Au début du XXème siècle, certains scientifiques, à la suite du chimiste Berthelot (1827-1907), se refusaient encore à croire à l'existence des atomes. La première observation directe des particules élémentaires de la matière a concerné les électrons lorsque les premiers rayons cathodiques ont été produits et que leurs propriétés ont été étudiées. Ce n'est que l'emploi du microscope à effet tunnel qui a permis de voir des atomes et, vers 1968, à Hotstadler, de "photographier" le proton, prouesse technique pour laquelle le prix Nobel lui fut décerné.

 Du fait que, dans la théorie de la Relativité, l'espace soit courbe, la lumière ne pouvait plus paraître comme voyageant en ligne droite. La lumière d'une étoile passant près du soleil devait, elle aussi, être déviée. La prédiction d'Einstein, sur la déviation de la lumière, qui pouvait paraître "osée", fut vérifiée et définitivement admise en 1915, lors d'une éclipse du soleil. Autre prédiction de la Relativité Générale : le temps devait s'écouler moins vite près d'un corps massif comme la Terre. Cette hypothèse fut mise à l'épreuve en 1962 à l'aide d'une paire d'horloges très précises installées au sommet et au pied d'une tour. On trouva que l'horloge du pied marchait plus lentement, en accord avec la Théorie de la Relativité Générale.

 En février 1988 nous est parvenu le flash de lumière émis par la mort explosive, il y a 150 000 ans, d'une étoile dans le Grand Nuage de Magellan. Parmi les particules sans masse se déplaçant comme les photons à la vitesse de la lumière, les astronomes ont détecté 12 neutrinos. Pour que la thèse d'Einstein soit confirmée, la vitesse de chacune de ces particules devait être identique. Après un voyage qui avait duré 150 000 ans, ces 12 neutrinos sont arrivés sur terre dans un intervalle de 12 secondes. Cette observation montrait que la vitesse des neutrinos, comme celle de la lumière, variait au maximum de 2 mm par seconde et confirmait la théorie.

 Les théories concernant la mécanique quantique se confirment, entre autres applications, par celles concernant la production de l'énergie nucléaire.

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