L'outil mathématique

Qu'est-ce que les  mathématiques ? Quelle définition donner à ce  langage ? Celle la plus généralement admise aujourd'hui est que le  caractère fondamental des mathématiques est la démonstration par déduction d'une conclusion à partir d'une hypothèse. Les mathématiques les plus pures  sont celles qui ne prêtent aucune attention à ce qui est démontré et ne s'intéressent uniquement qu'au procédé de démonstration ou de déduction. Dans son ouvrage  les Lois de la pensée, Boole décrit ainsi le but qu'il se propose :

Le présent traité a pour but d'étudier les lois fondamentales des opérations de l'esprit grâce auxquelles s'accomplit le raisonnement, de les exprimer dans le langage symbolique du calcul et, sur cette base, d'établir la science de la logique et sa méthode.

 Pourquoi faisons-nous des mathématiques ? A cette question, les scientifiques et les philosophes répondent aujourd'hui : pour vivre et perdurer (Science et Vie, Le mystère des maths, septembre 1999). Tout, autour de nous, est changeant. dans le ciel et dans notre univers quotidien. L'homme aurait senti la nécessité de dégager du monde mouvant ce qui est constant, parce qu'il veut comprendre et parce qu'il a besoin de trouver ce qui est stable, invariant. Mais les mathématiciens s'apercevront que la pensée mathématique est une pensée qui bouge, elle aussi.

A l'origine des mathématiques est le nombre. Dans son Philèbe (ou Du plaisir), le philosophe grec Platon  explique à son interlocuteur Socrate qu'à la base de la connaissance figurent au premier rang, à côté de la dialectique, démarche qui permet de remonter jusqu'au  vrai, le calcul et l'arithmétique.

 Si tu ne possèdes pas la puissance du calcul, alors tu seras incapable  de spéculer sur les plaisirs du futur, et ta vie sera, non pas celle d'un humain, mais celle d'une huître ou d'un poumon marin.

 Le nombre est inhérent à notre quotidien. Il permet de compter, de calculer. En science, le calcul est fondamental, aussi bien dans le domaine de la théorie que dans celui de la pratique.  Mais il devient de plus en plus complexe et à l'exception de rares cerveaux doués d'une puissance calculatrice prodigieuse,  il exige de plus en plus  un travail long et fastidieux. Aussi les scientifiques, les techniciens, ont cherché à simplifier cette étape de leurs recherches et, au terme d'inventions et d'innovations, les ordinateurs sont parvenus à dispenser les chercheurs de calculs inextricables qu'il faudrait des semaines, voire des mois pour mener à bien. Ils peuvent faire face à des problèmes dont la résolution exigerait une durée surpassant de très loin celle de la vie d'un individu.  Les ordinateurs permettent également de faire beaucoup mieux. Ils sont plus que de simples machines à calculer. Ils peuvent faire ce que ne pourra jamais faire un calculateur humain. Ils permettent de simuler une sorte d'expérimentation théorique irréalisable dans la réalité. Ce sont les machines de traitement automatique de l'information les plus générales qui soient.

 Le nombre n'est qu'une étape de l'aventure des mathématiques. Depuis son invention, l'Esprit semble irrésistiblement attiré vers la construction de concepts de plus en plus abstraits. Et pourtant, bien que ces recherches semblent éloignées de la réalité, nul ne doute, en tous les domaines d'activité, qu'elles sont d'une importance capitale. Le grand mathématicien américain Lefchez, en recevant  son doctorat honoris causa à la Sorbonne en 1960, dira que les fusées volent non avec du carburant mais avec des équations différentielles non linéaires. L'espace pourrait avoir des structures que les mathématiques vont découvrir et que la physique va exploiter.  Les mathématiques sont capitales même pour l'avenir de l'humanité.

 Les mathématiques  ne sont cependant pas une science basée sur l'expérience et sur l'observation. Elles sont une invention de l'esprit. Elles  permettent de voir là où l'imagination n'imagine plus. Pour Einstein, c'est dans les mathématiques que réside le principe vraiment créateur. Les mathématiciens de génie sont des visionnaires. Ce jeu cérébral auquel ils se livrent, en respectant les règles de la logique, les conduit à inventer des formules. Et celles-ci n'ont pas seulement pour intérêt de résoudre des problèmes qui se posent à nous.

 Ces formules ont une existence indépendante et une intelligence propre, elles sont plus sages que nous, plus sages même que ceux qui les ont découvertes et  nous pouvons en tirer plus que nous y avons mis à l'origine. (Heinrich Hertz)

Bien que pure invention de l'esprit, il y a une correspondance entre les mathématiques et le monde physique qui nous entoure. Les astrophysiciens peuvent bâtir la théorie de l'histoire de l'Univers et les astronomes comprendre le mouvement des astres parce qu'ils disposent des mathématiques. A tel point qu'une question reste  posée : sont-elles une pure invention intellectuelle du cerveau humain ou l'essence même de la nature qui nous entoure ? Car les mathématiques pénètrent dans tous les domaines de notre vie quotidienne où il est fait usage de notions qui vont du simple emploi du nombre, pour compter, aux concepts les plus complexes utilisés non seulement  dans la recherche scientifique mais aussi dans les activités industrielles et économiques. Et des auteurs comme André Amar se demande si penser et penser mathématiquement ne sont pas une seule et même chose, si la forme mathématique n'est pas la seule expression d'une pensée rigoureuse (Collection Planète).

 En mathématiques tous les résultats sont vrais si, édifiés sur des Principes admis au préalable mais qui peuvent être différents  - comme d'un point extérieur à une droite il n'existe qu'une parallèle à cette droite (c'est la géométrie euclidienne, celle qui est tombée dans le sens commun), ou aucune, ou plusieurs-  ils ont été démontrés suivant les règles de la logique. Les géométries non euclidiennes semblaient devoir être exclues des phénomènes physiques. Einstein se servit de ce nouvel univers pour fonder la théorie de la Relativité qui a des applications, entre autres, dans le calcul des trajectoires des engins spatiaux.

Une théorie nouvelle : les fractales

 La géométrie fractale  est une nouvelle branche créée il y a 25 ans par un mathématicien français, Benoit Mandelbrot qui mit en relation des travaux de divers chercheurs, certains remontant même au XIXème siècle.

 Une fractale  est un objet qui présente une structure semblable à différentes échelles. Si un tracé représente par exemple une partie de la côte bretonne, il est impossible de savoir, a priori, sans que soit précisée l'échelle, si ce dessin représente des centaines de kilomètres ou quelques centimètres. Ce tracé est une fractale. La géométrie se limitait  à des figures de formes classiques, cubes, parallélépipèdes, sphères, cônes... Une foule de phénomènes naturels sont aujourd'hui décrits par les fractales : les fronts des feux de forêts, les éruptions volcaniques, la répartition des galaxies dans l'Univers, les crashs boursiers... L'Univers tout entier serait fractal. Cette nouvelle branche des mathématiques ouvre un champ d'étude illimité. "Je ne crois pas qu'un instrument mathématique de cette puissance émerge tous les cent ans" estime  J-F Colonna, chercheur en informatique à France Télécom.

 Trois chercheurs, Jean Chaline, paléontologue, Laurent Nottale, astrophysicien et Pierre Grou, économiste, ont tenté d'appliquer la théorie des fractales à l'évolution. Ils  auraient découvert la loi qui décrirait la chronologie du développement des êtres vivants et même la prédirait partiellement. Cette loi, qui a fait l'objet d'une publication dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences  en date du 15 juin 1999 - un article majeur dans la lignée des textes fondateurs  écrit, dans la revue Eurêka de septembre 1999 Jean Dercourt, Secrétaire  perpétuel de l'Académie des Sciences en géosciences à Paris - a été testée avec succès sur quatre séries évolutives, trois de mammifères (rongeurs, primates, équidés), une de dinosaures ainsi que sur le tronc commun de l'arbre de la vie qui mène aux mammifères. Mais il  existe encore des milliers de gènes. sur lesquels la loi présumée n'a pas été vérifiée. La démarche scientifique exige le doute, la méfiance et la vérification. Pour cette raison, les  auteurs de cette étude demandent que leurs résultats soient pris avec la plus grande prudence et souhaitent qu'ils soient testés par d'autres scientifiques. Alors l'équation proposée devra-t-elle être modifiée, voire même abandonnée.

 Dans cette équation figure le temps critique : c'est le moment où une série évolutive atteint la fin de ses capacités à produire des mutations majeures. Si cette loi est exacte, des changements devraient s'opérer chez Homo Sapiens dans 800 000 ans et donner naissance à une nouvelle espèce, puis la  branche devrait atteindre son temps critique  dans 2,3 millions d'années (Ma) à 0,8 Ma près ( 0,8 Ma en plus ou en moins). L'homme serait une transition vers d'autres formes de vie, l'humanité  une étape dans l'évolution de l'Univers qui a encore devant lui une quinzaine de milliards d'années.

 Cette découverte confirmerait le principe de l'évolution, dans tous les domaines de l'Univers, même celui de l'apparition de l'homme, l'évolution de son espèce et sa disparition.

Mais les mathématiques conduisent à des résultats bien plus révolutionnaires encore et déroutants pour les scientifiques.

Le théorème de Gödel

 Des mathématiciens se sont aperçus que l'arithmétique s'était développée sans que l'on se soit assuré  qu'elle formait un tout logiquement constitué en partant d'un petit nombre de principes fondamentaux admis. Au début du siècle, des chercheurs entreprirent alors de dériver les vérités arithmétiques de la même manière qu'Euclide avait dérivé ses vérités géométriques, logiquement, à partir d'un petit nombre de postulats. En 1930, les efforts restaient vains. L'année suivante, en utilisant la logique elle-même, le mathématicien américain d'origine autrichienne, Gödel, apporta la preuve qu'il y aura toujours des vérités mathématiques que la logique ne pourra prouver, sans qu'il soit possible de préciser leur nombre exact. Il en résulte que toute hypothèse est potentiellement une vérité indémontrable.

L'outil indispensable aux recherches scientifiques  montrait  ses limites. Nous avions foi en la Science qui semblait pouvoir élargir sans cesse notre Connaissance de l'Univers. Louis de Broglie nous avait dit, déjà, combien cette croyance était osée :

 Il est possible d'obtenir des interprétations de la réalité physique en s'appuyant sur les règles de la raison. Ce postulat est d'une hardiesse extrême. On s'aventure peut-être presque autant qu'en admettant la valeur du sentiment esthétique comme guide sur le chemin de la vérité.

Nous faut-il alors partager l'intuition  du poète soviétique Boris Pasternak ?

 Quoi que l'on établisse, classe ou assure, ce ne sera jamais assez pour embrasser toute la vérité.